Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

Напомним вкратце, что в этой модели описывается производство двух видов краски (для внутренних и наружных работ) на основе двух видов сырья Ml и М2 (ресурсы 1 и 2) с учетом рыночных условий, выражаемых третьим и четвертым ограничениями. Задача состоит в определении объемов производства красок каждого вида (в тоннах), при которых будет получен максимальный доход (в тыс. долл.).

Оптимальное решение двойственной задачи показывает, что стоимость единицы первого ресурса (сырье Ml) составляет у, = 0,75 (или 750 долл. за тонну), а второго (сырье М2) - у2 = 0,5 (или 500 долл. за тонну). В разделе 2.3.3 мы графически показали, что приведенные значения стоимостей справедливы, если значение первого ресурса не выходит из интервала (20, 36), а второго - из интервала (4, 6,67) (эти же результаты алгебраически будут получены в разделе 4.5.1). Таким образом, расход сырья Ml может возрасти с 24 до 36 тонн, что приведет к соответствующему увеличению дохода на величину 12 х 750 = 9000 долл. Аналогично количество второго ресурса (сырье М2) можно увеличить с 6 до 6,67 тонн с увеличением дохода на величину 0,67 х 500 = 335 долл. Но еще раз напомним, что подобные расчеты применимы только тогда, когда увеличение числа используемых ресурсов не выходит за приведенные выше интервалы значений. Конечно, это не означает, что количество используемых ресурсов в принципе не может выходить за указанные пределы. Однако приведенные выше стоимости ресурсов определены только для ситуации, когда количество этих ресурсов не выходит за указанные пределы.

Для третьего и четвертого ресурсов двойственные цены (оптимальное решение двойственной задачи) равны нулю. Это указывает на то, что данные ресурсы неде-фицитны. Поэтому их стоимость равна нулю.

УПРАЖНЕНИЯ 4.3.1

1. В задаче из примера 4.3.1 подсчитайте оптимальный доход при выполнении следующих условий.

a) Ограничение для первого ресурса: &хг + 4х2 < 22.

b) Ограничение для второго ресурса: х, + 2х2 < 4,5.

c) Четвертое ограничение: х2 < 10.

2. Электротехническая компания NWAC производит четыре типа кабеля для оборонного ведомства. Каждый тип кабеля подвергается четырем последовательным операциям: разделка, пайка, оплетка и проверка. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производство кабелей.

тип Затраты времени на изделие (в минутах) Доход

кабеля

Разделка

Пайка

Оплетка

Проверка

(долл.)

SC320

10,5

20,4

9,40

SC325

24,6

10,80

SC340

11,6

17,7

8,75

SC370

26,5

7,80

Ежедневный фонд рабочего

4800,0

9600,0

4700,0

4500,0

времени (в минутах)

Оборонное ведомство гарантирует для компании минимальный уровень производства в 100 единиц каждого типа кабеля.



a) Сформулируйте задачу линейного программирования и с помощью программы TORA найдите ее оптимальное решение.

b) Основываясь на двойственных ценах, приведенных программой TORA, определите возможное увеличение ежедневного фонда времени по каждой технологической операции.

c) Выгодно ли компании выполнение требования заданного минимального уровня производства? Обоснуйте ответ, основываясь на величинах двойственных цен.

d) Возможно ли увеличение на 10% временного фонда операции пайки с сохранением величины ее вклада в суммарный доход, определяемый текущей двойственной ценой?

3. Компания производит кожаные чехлы и сумки. На производство одного чехла требуется 8 м2 кожи и 12 часов рабочего времени, на производство сумки - 2 м2 кожи и 5 часов рабочего времени. Текущие еженедельные ресурсы производства ограничены 1200 м2 кожи и 1850 часами рабочего времени. Компания продает чехлы и сумки по цене 350 и 120 долл. соответственно. Определите для этой компании схему производства, максимизирующую чистую прибыль. Допустим, компания желает расширить свое производство. Какова максимальная цена, по которой компании имеет смысл закупать дополнительную кожу? А какова допустимая максимальная цена дополнительных трудовых ресурсов?

4.3.2. Экономическая интерпретация ограничений двойственной задачи

Для интерпретации ограничений двойственной задачи используем формулу 2 из раздела 4.2.4. В соответствии с этим соотношением на любой итерации решения прямой задачи справедливо равенство

коэффициент при xt в z-строке = а,ЛУ, - с,

Условие оптимальности симплекс-метода в задаче максимизации говорит о том, что у-й вид деятельности (переменная дг), не представленный в текущем базисном решении, можно ввести в базис для увеличения дохода только тогда, когда коэффициент при Xj в z-строке (равный .аУ; -су) будет неотрицательным. В рамках предлагаемой экономической интерпретации это означает, что у-й вид деятельности должен быть представлен в базисном решении, если выполняется следующее неравенство.

Стоимость всех ресурсов, используемых для производства единицы продукции j-то вида деятельности

Доход от реализации единицы продукции 7-го вида деятельности

Таким образом, условие оптимальности (в задаче максимизации) говорит о том, что деятельность любого вида следует наращивать до тех пор, пока доход от нее превышает возможные издержки.

Приведем стандартные определения, используемые в литературе по линейному

программированию. Введем обозначение z, = Х 1я,уУ,- Величина z представляет суммарную стоимость ресурсов, используемых на производство единицы продукции j-ro вида деятельности. Величина zf - с. равна коэффициенту при xj в z-строке симплекс-таблицы и часто называется приведенной стоимостью (приведенными издержками)



у-го вида деятельности. В некоторых случаях разности z - с\ = Га<,Х - cf используют-

ся непосредственно для вычисления коэффициентов в z-строке симплекс-таблицы (вместо метода Гаусса-Жордана). Такие вычисления используются в модифицированном симплекс-методе (этот метод описан в главе 7).

Пример 4.3.2

Фабрика игрушек TOYCO собирает три вида игрушек: модели поездов, грузовиков и легковых автомобилей; при сборке каждого вида используется три типа операций. Ежедневный фонд рабочего времени на каждую операцию ограничен предельными величинами 430, 460 и 420 минут. Доход на одну игрушку каждого вида составляет соответственно 3, 2 и 5 долл. На каждой из трех операций для сборки модели поезда требуется 1, 2 и 1 минуты рабочего времени. Соответствующее время для сборки моделей грузовиков и легковых автомобилей составляет (2,0, 4) и (1, 2, 0) минут (нуль указывает на то, что соответствующая операция не выполняется).

Обозначив через х{, х2 и х3 количество собираемых ежедневно моделей трех видов, получаем прямую и двойственную задачи ЛП.

Прямая задача

Двойственная задача

Максимизировать z = 3xi + 2х2 + 5х3

Минимизировать w= 430yi + 460уг + 420уз

при ограничениях

при ограничениях

xi + 2x2 + хз < 430 (операция 1),

yi + Зу2 + Уз 3,

3xi + 2х3 < 460 (операция 2),

2yi + 4у3 > 2,

xi + 4X2 420 (операция 3),

yi + 2у2 > 5,

xi, х2, хз >0.

yi, Уг, Уз>0.

Оптимальное решение

xi = 0, х2 = 100, х3 = 230, z= 1350 долл.

Оптимальное решение

У1 = 1, Уг = 2, уз = 0, w = 1350 долл.

Оптимальное решение предусматривает производство моделей грузовых (хг = 100) и легковых (лг, = 230) автомобилей и требует отказа от производства моделей поездов (д:, = 0). Это означает, что в текущей экономической ситуации производство моделей поездов нерентабельно. Вместе с тем, рынок игрушек требует выпуска этого вида моделей. Как сделать их производство доходным? В соответствии с экономической интерпретацией задач ЛП, приведенной в этом разделе, производство моделей поездов будет выгодным только тогда, когда будет выполняться неравенство z, < с,. Для выполнения этого неравенства нужно либо повысить коэффициент с, (доход от продажи одной модели поезда), например путем увеличения цены модели, либо снизить стоимость ресурсов z, (= у, + Зу2 + у3), необходимых для производства этих игрушек. Увеличение цены игрушек не желательно, так как это снизит их конкурентоспособность на рынке игрушек. Уменьшение величины коэффициента z, более привлекательно, поскольку для этого надо просто сократить время выполнения операций, необходимых для производства моделей поездов. Обозначим через г гг и г3 величины, пропорциональные долям сокращения времени соответствующих операций. Эти величины находим из условия, чтобы новая стоимость производственных операций не превышала доход от одной модели поезда. Это условие записывается следующим образом.

1(1 - г,)у, + 3(1 - г2)у2 + 1(1 - г3)у3 < 3



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292