Кормовой рацион должен содержать:

а) кальция - не менее 8 и не более 12%,

б) белка - не менее 22%,

в) клетчатки - не более 5%.

Составьте оптимальный кормовой рацион для каждой недели.

Интервалы допустимых изменений для коэффициентов правых частей ограничений. Другой способ исследовать влияние изменения доступности ресурсов (т.е. коэффициентов правых частей неравенств ограничений) - определить интервалы допустимости для этих коэффициентов, сохраняющих текущее решение допустимым. Следующий пример иллюстрирует данный метод анализа чувствительности.

Пример 4.5.2

Пусть в задаче о фабрике игрушек TOYCO нас интересует интервал допустимости для значения фонда рабочего времени первой операции. Заменим вектор коэффициентов правых частей ограничений вектором

Г430+ОЛ 460 420

Переменная D, представляет изменение фонда рабочего времени первой операции по сравнению с текущим уровнем в 430 минут. Текущее базисное решение останется допустимым, если все базисные переменные останутся неотрицательными. Отсюда получаем следующую систему неравенств.

100-3 2

230 20 -2D,

0} 0

Первое неравенство х, > 0 порождает D, > -200, второе неравенство х, > 0 не зависит от D третье х6 > 0 дает условие D, < 10. Таким образом, текущее базисное решение останется допустимым при выполнении неравенств -200 < D, < 10. Это эквивалентно следующему интервалу допустимости для фонда рабочего времени первой операции.

430 - 200 < Фонд рабочего времени операции 1 < 430 + 10

230 < Фонд рабочего времени операции 1 < 440.

Изменение значения целевой функции, соответствующее изменению D равно Dlyi, где у, - стоимость (в долларах) одной минуты фонда рабочего времени первой операции (т.е. двойственная цена этого ресурса).

Чтобы проиллюстрировать использование данного интервала допустимости, предположим, что фонд рабочего времени первой операции изменился от 430 до 400 минут. Текущее базисное решение остается допустимым, поскольку новое значение фонда рабочего времени первой операции принадлежит интервалу допустимости.

Для вычисления новых значений переменных воспользуемся значением D, = 400 -- 430 = -30. Далее получим следующее.

( 1 100+ -(-30) 2

85 230 80

ч 20-2(-30) )

Для вычисления нового значения целевой функции сначала найдем значения двойственных цен, для чего применим метод 1 из раздела 4.2.3, т.е. используем формулу

Вектор-строка исходных коэффициентов целевой функции при базисных переменных в оптимуме прямой задачи

Оптимальные значения двойственных

переменных На основании этой формулы получаем

Обратная матрица 4 в оптимуме прямой задачи

(у,.Л.у3) = (2.5,0)

f 1 2

- -- 0

= (1,2,0).

Таким образом, стоимость одной минуты фонда рабочего времени первой операции равна у, = 1 долл. Тогда изменение оптимального дохода составит Dlyl = -30 х 1 = = -30 долл. Следует помнить, что данная стоимость минуты фонда рабочего времени первой операции, равная у, = 1 долл., справедлива только для указанного выше интервала изменения Dr Любое изменение, выходящее за этот интервал, приводит к недопустимому решению. В таком случае следует использовать двойственный симплекс-метод для поиска нового решения, если оно существует.

Аналогичную процедуру можно использовать при определении интервалов допустимости для переменных D2 и D3, равных изменению фондов рабочего времени второй и третьей сборочных операций (см. упражнение 4.5.2.1). Определение интервалов допустимости для Dv D2 и D3, как описано выше, и их соотношения с переменными у у1 и у3 двойственной задачи корректны только тогда, когда эти ресурсы рассматриваются независимо друг от друга. Далее мы рассмотрим возможность одновременного изменения всех трех ресурсов, в этом случае текущий вектор коэффициентов правых частей ограничений необходимо заменить на вектор с элементами 430 4- D 460 4- D2 и 420 + D, (упражнение 4.5.2.2).

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.2

1. Пусть в задаче о фабрике игрушек TOYCO переменные D2 и D3 представляют изменения фондов рабочего времени второй и третьей операций.

a) Определите интервалы для D2 и D3, гарантирующие допустимость текущего решения. Предполагается, что изменения фондов рабочего времени каждой операции выполняются по отдельности.

b) Определите стоимость одной минуты фондов рабочего времени второй и третьей операций.

c) Пусть фонд рабочего времени второй операции изменен от текущего значения 460 минут до 500 минут. Найдите новое оптимальное решение и определите соответствующее изменение значения целевой функции.

d) Пусть фонд рабочего времени третьей операции изменен от текущего значения 420 минут до 450 минут. Найдите новое оптимальное решение и определите соответствующее изменение значения целевой функции.

e) Пусть фонд рабочего времени третьей операции изменен от текущего значения 420 минут до 380 минут. Найдите новое оптимальное решение и определите соответствующее изменение значения целевой функции.

2. Пусть в задаче о фабрике игрушек TOYCO изменения D3, D2 и D3 фондов рабочего времени всех операций производятся одновременно.

a) Сформулируйте условия для переменных D3, D2 и D3, гарантирующие допустимость текущего оптимального решения.

b) Пусть фонды рабочего времени всех трех операций изменены до 438,500 и 410 минут соответственно. На основании условия, найденного в предыдущем пункте, покажите, что текущее базисное решение останется допустимым. С помощью двойственных цен найдите изменение значения целевой функции.

c) Пусть фонды рабочего времени всех трех операций изменены до 460, 440 и 380 минут соответственно. На основании условия, найденного в п. а, покажите, что текущее базисное решение будет недопустимым. С помощью двойственного симплекс-метода найдите новое оптимальное решение.

3. Вернитесь к модели фабрики игрушек TOYCO.

a) Предположим, что стоимость дополнительного времени, выделяемого для первой сборочной операции сверх текущего фонда времени в 430 минут, равна 50 долл. за час. В эту стоимость входит оплата сверхурочных работ персонала и стоимость машинного времени. Будет ли экономически целесообразным использовать дополнительное время для первой операции?

b) Пусть на второй сборочной операции оператор может ежедневно работать два часа сверхурочно с оплатой 45 долл. за каждый час. Стоимость дополнительного машинного времени составляет 10 долл. за час. Будет ли экономически целесообразным использовать дополнительное время для второй операции?

c) На каких условиях экономически целесообразно использовать дополнительное время для третьей операции?

d) Предположим, что фонд рабочего времени первой операции увеличен до 440 минут, но любое превышение текущего фонда этой операции (430 минут) стоит 40 долл. за час. Найдите новое оптимальное решение, включая значение целевой функции.

e) Предположим, что фонд рабочего времени второй операции уменьшен на 15 минут. Стоимость одного часа этой операции равна 30 долл. (в течение обычной рабочей смены). Будет ли экономически целесообразным уменьшение фонда рабочего времени для второй операции?

4. Компания производит бумажники, кошельки и небольшие рюкзаки. Конструкция всех трех видов изделий предусматривает использование кожи и синтетических материалов, причем кожа является дефицитным материалом. В производственном процессе используется два вида ручных работ: прошивка и зачистка. В следующей таблице приведены данные, характеризующие производственный процесс, потребность в ресурсах и доход на единицу производимого изделия.