3 J5) 13 y,+3y,+y3-2 = - + 3l-l + 0-2=-,

3

хл у, - 0 = -. 5 4

Отметим, что здесь использовалось новое значение 2 коэффициента при переменной хх в выражении целевой функции.

Вычисления показывают, что текущее решение хх - 0, х2 = 100 и хг = 230 остается оптимальным. Новое значение целевой функции равно 2x0+ 3x100 + + 4x230 = 1220 долл.

Предположим, что в рассматриваемой задаче целевая функция имеет следующий вид.

Максимизировать z = 6х, + Зх2 + 4х3.

Соответствующие изменения в г-строке следующей симплекс-таблицы выделены (проверьте эти значения!).

Для нахождения нового оптимального решения следует ввести в базис переменную х, и исключить из него переменную х6. В результате получим решение х, = 10, х2 = 102,5, х3 = 215 и z = 1227,50 долл. (проверьте!).

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.4

1. Проверьте оптимальность решения задачи о фабрике TOYCO для следующих целевых функций. Если решение неоптимально, найдите новое оптимальное решение. (Симилекс-таблица с оптимальным решением для данной задачи представлена в начале раздела 4.5.)

a) г = 2х, + х2 + 4х3,

b) 2 = Зх, + 6х2 + хъ,

c) г = 8х, + Зх2 + 9х3.

2. Проверьте оптимальность решения задачи о компании Reddy Mikks (пример 4.3.1) для следующих целевых функций. Если решение неоптимально, найдите новое оптимальное решение. (Симплекс-таблица с оптимальным решением для данной задачи представлена в примере 3.3.1.)

a) г = Зх, + 2д:2,

b) 2 = 8х, + 10х2,

c) 2 = 2*, + 5х2.

3. В упражнении 4.5.2.4 с помощью программы TORA вычислите оптимальное решение. На основе анализа чувствительности найдите оптимальное решение для следующих целевых функций.

Интервалы оптимальности для коэффициентов целевой функции. Другой путь исследования влияния коэффициентов целевой функции на оптимальность решения заключается в вычислении (по отдельности) интервалов изменения каждого коэффициента, сохраняющих оптимальность текущего решения. Для этого следует заменить текущий коэффициент с; выражением с\ + djt где d: - величина (положительная или отрицательная) изменения коэффициента cv.

Пример 4.5.5

В задаче о фабрике TOYCO запишем целевую функцию следующим образом.

Максимизировать z = (3 + dl)xi + 2х2 + 5х3. Найдем интервал оптимальности для изменения dr

Мы должны следовать той же процедуре, которая описана выше. Но так как переменная л:, не входит в оптимальный базис, значения двойственных переменных не изменятся и останутся такими же, как в исходной задаче (т.е. ух = 1, у2 = 2, у3 = 0). Более того, поскольку переменная дг, небазисная, то в z-строке изменится только ее коэффициент, а все остальные коэффициенты останутся неизменными (почему?). Это означает, что нам необходимо применить формулу 2 из раздела 4.2.4 только к ограничению двойственной задачи, соответствующего переменной дг,.

л-,: у, + Зу2 + у3 - (3 + dt) = 1 + 3x2 + 0 - (3 + dj = 4 - dv

Поскольку рассматривается задача максимизации, исходное решение будет оптимальным до тех пор, пока выполняется неравенство 4-J, >0 или с/,<4. Это эквивалентно утверждению, что текущее решение останется оптимальным до тех пор, пока в целевой функции коэффициент при лг, не превысит величины 3 + 4 = 7.

Теперь рассмотрим изменение d2 коэффициента при переменной л:2 в выражении целевой функции:

максимизировать z = Зл-, + (2 + d2)x2 + 5лг3.

Различие здесь по сравнению с предыдущем случаем заключается в том, что переменная л:2 входит в оптимальный базис, и поэтому изменение ее коэффициента изменит значения двойственных переменных и, следовательно, значения коэффициентов в z-строке, соответствующих всем небазисным переменным (напомним, что коэффициенты в z-строке, соответствующие базисным переменным, останутся равными нулю независимо от изменения целевой функции). Используя метод 1 из раздела 4.2.3, вычисляем значения двойственных переменных:

- О 4

(УрУ2.л) = (2 + / 5,0)

- О 2

1 1

Теперь можно вычислить коэффициенты в z-строке для небазисных переменных.

Из этих неравенств имеем d2 < 16, d2 > -2 и d2 < 8 или

-2<rf2<8.

Отсюда получаем интервал оптимальности для коэффициента с2 = 2 + d2:

0<с2<10.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.5

1. Пусть в задаче о фабрике TOYCO доход от одной модели легкового автомобиля составляет 5 + d3 долл. Определите интервал для величины d3, сохраняющий текущее оптимальное решение.

2. В задаче о фабрике TOYCO, используя решения из примера 4.5.5 и предыдущего упражнения, укажите, будет ли текущее решение оптимальным для следующих (независимых) ситуаций. Если решение изменится, найдите новое.

a) Доход от одной модели поезда возрос от 3 до 5 долл. До 8 долл.

b) Доход от одной модели поезда уменьшился от 3 до 2 долл.

c) Доход от одной модели грузовика увеличился от 2 до 6 долл.

d) Доход от одной модели легкового автомобиля уменьшился от 5 до 2 долл.

3. Пусть в задаче о компании Reddy Mikks коэффициенты целевой функции претерпели следующие изменения (каждое изменение рассматривается как отдельная задача).

a) Доход от одной тонны краски для наружных работ составляет 5 + rf, тыс. долл.

b) Доход от одной тонны краски для внутренних работ составляет 4 + d2 тыс. долл.

Изменения ci, и d2 могут быть как положительными, так и отрицательными. Применяя подходящее условие оптимальности к коэффициентам z-строки оптимальной симплекс-таблицы, определите интервалы для величин и d2, сохраняющие текущее оптимальное решение.