4. В задаче о компании Reddy Mikks, используя решение из предыдущего упражнения, покажите, будет ли текущее решение оптимальным для следующих (независимых) ситуаций. Если решение изменится, найдите новое.

a) Доход от одной тонны краски для наружных работ возрос от 5 до 7 тыс. долл. Уменьшился от 5 до 4 тыс. долл.

b) Доход от одной тонны краски для внутренних работ возрос от 4 до 6 тыс. долл. Уменьшился от 4 до 3 тыс. долл.

5. Вернитесь к задаче из упражнения 4.5.2.5.

a) Найдите оптимальное решение с помощью программы TORA.

b) Определите интервал значений удельного дохода от первой модели выпускаемых устройств, сохраняющих оптимальность текущего решения.

c) Найдите интервал значений удельного дохода от второй модели выпускаемых устройств, сохраняющих оптимальность текущего решения.

d) Вычислите новое оптимальное решение, если удельный доход от первой модели возрастет до 6 долл.

e) Найдите новое оптимальное решение при изменении удельного дохода от второй модели до 1 долл.

6. Вернитесь к задаче из упражнения 4.5.2.6.

a) Найдите оптимальное решение с помощью программы TORA.

b) Каков наименьший удельный доход от первого продукта, сохраняющий текущее оптимальное решение?

c) Найдите новое оптимальное решение при возрастании удельного дохода от первого продукта до 25 долл.

7. Пусть в задаче о фабрике TOYCO изменения d d2 и d3 производятся одновременно.

a) Найдите условия, сохраняющие текущее решение оптимальным.

b) Используя условия, полученные в предыдущем пункте, найдите новое решение (если текущее изменилось) для следующих целевых функций.

i) 2 = 2х, + х2 + 4х3,

ii) 2 = Зх, + 6х2 + хъ,

iii) г = 8л:, + Ъх2 + 9л:3.

8. Пусть в упражнении 3 изменения d, и d2 производятся одновременно.

a) Найдите условия, сохраняющие текущее решение оптимальным.

b) Используя условия, полученные в предыдущем пункте, найдите новое решение (если текущее изменилось) для следующих целевых функций.

i) 2 = Зх, + 2х2,

ii) 2 = Зх, + 9х2,

iii) 2 = 5х, + Ъх2.

9. Вернитесь к задаче из упражнения 4.5.2.5.

a) Определите условия, сохраняющие текущее оптимальное решение при одновременном изменении удельных доходов от обеих моделей устройств.

b) Найдите новое оптимальное решение, если целевая функция примет вид 2 = 5x, + 2х2.

10. Достаточное правило оптимальности. Правило, подобное достаточному правилу допустимости из упражнения 4.5.2.7, можно сформулировать и для проверки оптимальности текущего решения при одновременном изменении всех коэффициентов cj целевой функции. Для этого представим коэффициенты cj в виде cj + dr j = 1, 2, п. Предположим, что для всех изменений dj независимо получены индивидуальные интервалы u.<dt< v} значений, сохраняющих оптимальность текущего решения (как в примере 4.5.5). Очевидно, что ц<0 (v}>0), поскольку эта величина соответствует максимально возможному уменьшению (увеличению) коэффициента cjt сохраняющего текущее оптимальное решение. Для df, которые находятся в интервале Uj<di< у, определим отношение г. = djv. или rj = dju в зависимости от того, будет величина d} положительной или отрицательной. По определению 0<гу<1. Правило гласит, что достаточным (но не необходимым) условием сохранения оптимальности текущего решения является выполнение неравенства г, + г2 + ... + rn < 1. Если это неравенство не выполняется, то текущее решение может быть как оптимальным, так и неоптимальным. Это правило не применимо, если величины d} выходят за свои интервалы оптимальности.

Примените достаточное правило оптимальности к задаче из упражнения 7, Ь, чтобы определить измененные целевые функции, которые сохраняют текущее оптимальное решение. Покажите, что достаточное правило оптимальности слишком слабое для того, чтобы использовать его в качестве инструмента принятия решений.

11. Покажите, что достаточное правило оптимальности (упражнение 10) является следствием неравенств zj-cj >0 в задаче максимизации и неравенств zj - с. < 0 в задаче минимизации.

Добавление в модель ЛП нового вида производственной деятельности. Введение в модель линейного программирования нового вида производственной деятельности эквивалентно добавлению новой переменной в задачу ЛП. Добавление нового вида производственной деятельности интуитивно обосновано только в том случае, если эта деятельность экономически рентабельна, т.е. улучшает оптимальное значение целевой функции. Это условие можно проверить, применив к новой переменной формулу 2 из раздела 4.2.\. Поскольку новая переменная пока не является частью решения, ее можно считать небазисной переменной. Тогда значения двойственных переменных, ассоциированных с текущим решением, останутся неизменными.

Если формула 2 показывает, что новая переменная удовлетворяет условию оптимальности, то это означает, что новая деятельность нежелательна, поскольку не улучшает оптимального решения. В противном случае новый вид деятельности является рентабельным, и соответствующая ему переменная должна быть включена в базисное решение.

Пример 4.5.6

Оптимальное решение задачи ЛП о фабрике игрушек TOYCO показывает, что производство моделей поездов нерентабельно. Поэтому фабрика планирует заменить производство этих моделей выпуском модели пожарной машины, причем ее сборка будет осуществляться с использованием тех же производственных мощностей. Доход от новой игрушки ожидается в 4 долл. за одну модель. Ее время

сборки на каждой из трех технологических операций составляет соответственно 1, 1 и 2 минуты.

Обозначим через х7 объем производства новой продукции. Имея значения переменных двойственной задачи (yvy2, у8) = (1, 2, 0), вычисляем приведенную стоимость для переменной х7:

1у\ + 1у2 + 2Уъ - 4 = 1 х 1 + 1 х 2 + 2 х 0 - 4 = -1.

Полученный результат показывает, что экономически целесообразно включить переменную х7 в оптимальное базисное решение. Чтобы найти новое оптимальное решение, сначала с помощью формулы 1 из раздела 4.2.4 вычислим столбец коэффициентов ограничений, соответствующий переменной х7.

Отсюда следует, что текущая симплекс-таблица должна быть приведена к следующему виду.

Теперь новое оптимальное решение можно найти, введя в базис переменную х7 и исключив из него переменную д:6. Новое решение составляют х, = 0, х2 = 0, х2 = 125, х7 = 210 и 2 = 1465 долл. (проверьте!).

Введение в модель ЛП нового вида деятельности, как следует из приведенного выше, можно рассматривать как обобщение ситуации, когда происходит изменение ресурсов, используемых для существующей деятельности. Например, в последнем примере можно считать, что переменная х7 в исходной задаче имела нулевой коэффициент в целевой функции и нулевые коэффициенты в ограничениях на использование ресурсов. Но затем были изменены ее нулевой коэффициент в целевой функции и соответствующие нулевые коэффициенты в ограничениях. Поэтому введение в модель ЛП нового вида деятельности можно рассматривать как изменение параметров существующего вида деятельности.

УПРАЖНЕНИЯ 4.5.6

1. В исходной модели фабрики игрушек TOYCO производство моделей поездов не входит в оптимальный производственный план. Ситуация на рынке игрушек не позволяет увеличить отпускную цену этих моделей. Поэтому фабрика решила усовершенствовать сборочные операции данной модели. Это привело к уменьшению времени выполнения каждой из трех сборочных операций на р%. Найдите значение р, при котором выпуск моделей поездов становится