Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292


Рис. 2.2. Оптимальное решение модели

УПРАЖНЕНИЯ 2.2.1

1. Для каждого из следующих неравенств определите допустимое полупространство, предполагая, что xlt х2 > 0:

a) -Зл:, + х2 < 6;

b) х1-2х2>5;

c) 2х1-3х2<12;

d) х1 - х2 < 0;

e) -я, + х2 > 0.

2. Определите направление возрастания целевой функции z в следующих случаях:

a) максимизировать z - x1 - х2;

b) максимизировать z = -5х1 - 6хг;

c) максимизировать z = -хг + 2х2;

d) максимизировать z = -3xt + х2.

3. В рамках модели компании Reddy Mikks постройте пространство допустимых решений и найдите оптимальное решение, учитывая (независимо) следующие условия.

a) Ежедневный объем производства краски для наружных работ не должен превышать 2,5 т.

b) Ежедневный объем производства краски для внутренних работ должен быть не менее 2 т.

c) Ежедневный объем производства краски для внутренних работ должен превышать ежедневный объем производства краски для наружных работ ровно на одну тонну.



d) Ежедневный расход сырья Ml должен быть не менее 24 т.

e) Ежедневный расход сырья Ml должен быть не менее 24 т, и ежедневный объем производства краски для внутренних работ должен не менее чем на одну тонну превышать ежедневный объем производства краски для наружных работ.

4. Для исходной задачи компании Reddy Mikks определите угловые точки области допустимых решений, где достигается оптимальное решение для следующих целевых функций:

a) г = Зл:, + х2\

b) г = ж, + Зх2;

c) г = 6л:, + 4х2.

Чем решение для целевой функции п. с отличается от решений для целевых функций пп. а и Ы

5. Джек - студент-первокурсник. Он пришел к выводу, что одна только учеба, без ежедневной игры в баскетбол, плохо влияет на его умственное, нравственное и физическое развитие. Поэтому он решил распределить свое дневное время (примерно 10 часов) для учебы и игры в баскетбол. Привлекательность игрового времени он оценивает в два раза выше, чем привлекательность времени, затраченного на учебу. Но, имея совесть и чувство долга, Джек решил, что время для игры не должно превышать время учебы. Кроме того, он заметил, что, если выполнять все учебные задания, на игру останется не более 4 часов в день. Помогите Джеку распределить время так, чтобы он получал максимальное удовольствие и от работы, и от игры.

2.2.2. Нахождение минимума целевой функции

Пример 2.2.2. Задача диеты

Фармацевтическая фирма Ozark ежедневно производит не менее 800 фунтов3 некой пищевой добавки - смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в следующей таблице.

Белок Клетчатка

Стоимость

Мука

(в фунтах на фунт муки)

(в долл. за фунт)

Кукурузная

0,09 0,02

0,30

Соевая

0,60 0,06

0,90

Диетологи требуют, чтобы в пищевой добавке было не менее 30% белка и не более 5% клетчатки. Фирма Ozark хочет определить рецептуру смеси минимальной стоимости с учетом требований диетологов.

Практически во всех примерах при описании реальных ситуаций автор пользуется системой мер, принятой в США. Мы не стали переводить эти единицы измерения в метрическую систему, так как названия единиц никак не влияют ни на описание примеров, ни на понимание методов, иллюстрируемых ими. - Прим. ред.



Поскольку пищевая добавка состоит только из кукурузной и соевой муки, переменными для этой задачи,очевидно, будут:

jCj - количество (в фунтах) кукурузной муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки;

х, - количество (в фунтах) соевой муки, используемой в дневном производстве пищевой добавки.

Целевая функция равна общей стоимости пищевой добавки, производимой за один день, и должна быть минимальной. В данном случае это можно записать следующим образом:

минимизировать z - 0,3х, + 0,9х2.

Ограничения модели должны отражать производственные требования и рекомендации диетологов. Фирма должна выпускать не менее 800 фунтов смеси в день; соответствующее ограничение будет записано следующим образом:

х, + х2>800.

Рассмотрим ограничение, связанное с количеством белка в пищевой добавке. Общее количество белка в смеси, состоящей из х, фунтов кукурузной муки и х, фунтов соевой муки, равно 0,09х, + 0,6х2 (фунтов). Это количество должно составлять не менее 30% от общего объема смеси х1+х2. Отсюда получаем следующее неравенство:

0,09л:, + 0,6х2 > 0,3(х1 + х2).

Аналогично строится ограничение для клетчатки:

0,02х, + 0,06х2 < 0,05(х! + х,).

В последних двух неравенствах переменные х1 и х2 надо перенести из правых частей неравенств в левые. Окончательно модель примет следующий вид.

Минимизировать z = 0,3х1 + 0,9х2

при ограничениях

х, +х2>800, 0,21х,-0,30х2<0, О.ОЗх, -0,01х2>0, х х2>0.

На рис. 2.3 показано графическое решение этой задачи. В отличие от модели примера 2.2.1, здесь две прямые, соответствующие неравенствам ограничений, проходят через начальную точку (0, 0). Для того чтобы провести на графике такую прямую, необходима еще одна точка. Координаты этой точки можно найти, подставив в уравнение прямой любое значение для одной переменной, и затем из этого уравнения вычислить значение для другой. Например, для второго неравенства из системы ограничений положим х; = 200, тогда для второй переменной получаем уравнение 0,21x200 -0,3х2 = 0; отсюда имеем х2 = 140. Таким образом, прямая 0,21х, - 0,30х2 = 0 проходит через точки (0, 0) и (200, 140). Заметим также, в данном случае для определения допустимого полупространства нельзя использовать в качестве тестовой точку (0, 0), здесь следует взять какую-либо другую, например (100, 0) или (0, 100).

Поскольку в данной модели следует минимизировать целевую функцию, нужно идти в направлении уменьшения ее значений (это направление на рис. 2.3 показано стрелкой). Оптимальное решение находится на пересечении прямых х, + х2 = 800



1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292