Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292

УПРАЖНЕНИЯ 2.2.3

1. Режим обучения в программе TORA. В программе TORA введите следующие условия задачи ЛП и укажите, что решение следует получить в графическом режиме.

Максимизировать г = Зх, + 8х2 при выполнении условий

х, + х2>8,

2хг-3х2<0,

х, + 2х2<30,

Зх, -х2>0,

х,<10,

х2>9,

х х2>0.

Далее на листе бумаги начертите оси х, и х2 в подходящем для этой задачи масштабе (в программе TORA можно щелкнуть на кнопке Print Graph (Распечатать график), которая расположена в верхней правой части окна, чтобы получить разграфленный лист). Теперь самостоятельно начертите первое ограничение. Для проверки можно щелкнуть на соответствующем ограничении в левой части окна программы. Начертите все остальные ограничения. Затем постройте целевую функцию. Проверьте, правильно ли вы усвоили графическое решение задачи ЛП, повторив все выполненные действия в системе TORA.

2. Рассмотрим модель Reddy Mikks (файл ch2ToraReddyMikks.txt). С помощью TORA покажите, что оптимальное решение задачи ЛП всегда связано с угловой точкой пространства решений. Сначала введите (или загрузите) исходную модель ЛП. Найдите ее графическое решение. Затем, щелкнув на кнопке View/Modify Input Data (Просмотр/Изменение исходных данных), вернитесь в окно ввода данных и введите представленные ниже уравнения целевых функций. В результате вы должны увидеть, что при изменении угла наклона целевой функции оптимальные решения будут находиться в различных угловых точках. Цель этого упражнения - показать, что для того, чтобы найти оптимальное решение задачи ЛП, достаточно знать угловые точки пространства решений.

a) г = 5х, + х2.

b) г = 5х, + 4х2.

c) 2 = + Зх2.

d) 2 = - Xj + 2х2.

e) г = - 2х, + х2.

f) 2 = - х, - х2.

3. В модели диеты (файл ch2ToraDiet.txt) замените целевую функцию следующей:

минимизировать z = 0,8х, + 0,8х2.

Используя графические возможности системы TORA, покажите, что оптимальное решение связано с двумя различными угловыми точками, причем в обеих точках оптимальное решение будет одинаковым. В этом случае говорят, что задача имеет альтернативный оптимум. Объясните, какие условия



привели к такой ситуации, и покажите, что на самом деле задача имеет бесконечное множество альтернативных оптимумов. Затем напишите формулу для определения всех таких решений.

4. Рассмотрим следующую модель ЛП:

максимизировать z = 5х, + 4х2 при выполнении условий

6х, + 4х2<24, б + Зхгг.б, х, + х2 < 5, х, + 2х2<6, - х, + х2< 1, х2<2, х х2>0.

В ЛП ограничение называется избыточным, если его удаление из модели не изменяет пространство допустимых событий. Используя систему TORA, определите, какие ограничения избыточны. Затем покажите, что их удаление не повлияет на пространство решений и оптимум.

5. Используя систему TORA, покажите, что если в модели Reddy Mikks удалить ограничения на ресурсы (первые два ограничения), то пространство решений будет неограниченным. Что в этом случае можно сказать об оптимальном решении?

Предположим, что в модель Reddy Mikks добавлено еще одно ограничение: х2 > 3.

6. Используя систему TORA, покажите, что полученная модель содержит противоречивые ограничения, которые одновременно не могут быть удовлетворены. Поэтому модель не имеет допустимых решений.

2.3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

Модель линейного программирования является как бы моментальным снимком реальной ситуации, при которой параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств ограничений) предполагаются неизменными. Естественно изучить влияние изменения параметров модели на полученное оптимальное решение задачи ЛП. Такое исследование называется анализом чувствительности.

В этом разделе анализ чувствительности основывается на графическом решении задачи ЛП. Рассмотрим два случая: 1) изменение коэффициентов целевой функции и 2) изменение значений констант в правой части неравенств ограничений. Хотя проведенное здесь исследование будет элементарным и ограниченным, оно покажет основные идеи методов анализа чувствительности. Подробно методы этого анализа описаны в главе 4.

2.3.1. Изменение коэффициентов целевой функции

В общем виде целевую функцию задачи ЛП с двумя переменными можно записать следующим образом.

Максимизировать или минимизировать z = с1х1 + с2х2.

Изменение значений коэффициентов с, и с2 приводит к изменению угла наклона прямой 2. Графический способ решения задачи ЛП, описанный в разделе 2.2, показы-



вает, что это может привести к изменению оптимального решения: оно будет достигаться в другой угловой точке пространства решений. Вместе с тем, очевидно, существуют интервалы изменения коэффициентов с, и с2, при которых текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. В частности, представляет интерес определение интервала оптимальности для отношения cjc2 (или, что то же самое, для с2/с,); если значение отношения с,/с2 не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным. Следующий пример показывает, как можно получить необходимый результат с помощью анализа графического представления модели ЛП.

Пример 2.3.1

Применим процедуру анализа чувствительности к задаче примера 2.2.1 (модель для компании Reddy Mikks). На рис. 2.5 видно, что функция z = Ьхх +4дг2 достигает максимального значения в угловой точке С. При изменении коэффициентов целевой функции z = cix1 + cj2 точка С останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона прямой z будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых является точка С. Этими прямыми являются б*, + 4jc2 = 24 (ограничение на сырье Ml) и л, + 2х2 = 6 (ограничение на сырье М2). Алгебраически это можно записать следующим образом:

В первой системе неравенств условие с, Ф О означает, что прямая, соответствующая целевой функции, не может быть горизонтальной. Аналогичное условие в следующей системе неравенств означает, что эта же прямая не может быть вертикальной. Из рис. 2.5 видно, что интервал оптимальности данной задачи (он определяется двумя прямыми, пересекающимися в точке С) не разрешает целевой функции быть ни горизонтальной, ни вертикальной прямой. Таким образом, мы получили две системы неравенств, определяющих интервал оптимальности в нашем примере. (Если сх и с2 могут принимать нулевые значения, интервал оптимальности для отношения cjc2 (или с2/с,) необходимо разбить на два множества, где знаменатели не обращались бы в нуль. Эта ситуация представлена в упражнении 2.3.1.1.)

Итак, если коэффициенты сх и с2 удовлетворяют приведенным выше неравенствам, оптимальное решение будет достигаться в точке С. Отметим, если прямая z = clxi + Cja:2 совпадет с прямой л, + 2х2 = 6, то оптимальным решением будет любая точка отрезка CD. Аналогично, если прямая, соответствующая целевой функции, совпадет с прямой 6л, + 4х2 = 24, то любая точка отрезка ВС будет оптимальным решением. Однако заметим, что в обоих случаях точка С остается точкой оптимального решения.

Приведенные выше неравенства можно использовать при определении интервала оптимальности для какого-либо одного коэффициента целевой функции, если предположить, что другой коэффициент остается неизменным. Например, если



2 с, 4

с, *0.



1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292