существенный параметр - длина волны (лучевое описание пригодно лишь в случае, когда эта длина мала по сравнению с характерным геометрическим размером системы).

Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще больше. Коэффициент усиления оказывается пропорциональным 1~~а, где I - длина вол-

Рис. 46. Типичные особенности бикаустик

характера особенности. Для простейших особенностей значения а таковы:

Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности типа пирамиды и кошелька. В случае движущейся каустики в отдельные моменты времени могут возникать более яркие особенности *) АЬх Db (см. рис. 44, 45t а = = 1/3 для Л 5, 3/8 для D5).

Если свет настолько интенсивен, что способен разрушать среду, то разрушение начнется в точках наибольшей яркости, поэтому показатель а определяет зависимость интенсивности разрушающего среду света от частоты.

Аналогичная описанной выше классификация особенностей каустик и волновых фронтов проведена в многомерных пространствах до размерности 10 (В, М. Закалю-кин).

*) Все перечисленные особенности классифицируются по тинам А\, о которых подробнее рассказано на с. 89-90,

Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их перестроек получили полное подтверждение в экспериментах, и сейчас даже кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад. Дело, однако, в том, что соответствующий математический аппарат не тривиален *) и связан с такими разделами математики, как классификации простых алгебр Ли и кристаллографических групп Кокстера, с теорией кос, теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д.- он даже связан (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.

Катастрофисты пытаются избежать серьезной математики. Например, в составленной К. Зиманом в 1980 г. обширной библиографии по теории катастроф опущены ссылки на математические работы, вышедшие после 1976 г. Таким образом, катастрофисты продолжают попытки экспериментально нащупать ответы в задачах, давно решенных математиками. Например, в работе 1980 г. о ветровых полях и движении льда можно найти полуудачные попытки угадать список метаморфоз каустик в трехмерном пространстве (см. рис. 44, 45), опубликованный математиками еще в 1976 г.

9. КРУПНОМАСШТАБНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВА ВО ВСЕЛЕННОЙ

В настоящее время распределение вещества во Вселенной крайне неоднородно (существуют планеты, Солнце звезды, галактики, скопления галактик и т. д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они образовались? Я. Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г. Е. М. Лифши-цем, Халатниковым и Судаковым.

Рассмотрим бесстолкновителъную среду, т. е. среду настолько разреженную, что ее частицы проходят друг сквозь друга, не сталкиваясь. Предположим, для простоты, что частицы не взаимодействуют и движутся по инер-

*) Первоначальное доказательство теоремы Уитни, с которой мы начали, занимало около 40 страниц; хотя окончательные геометрические результаты теории особенностей легко могут быть поняты и использованы, доказательства продолжают оставаться сложными.

ции: через время t частица, находившаяся в точке х, перейдет в точку х + vt.

Предположим, что в начальный момент скорость частицы, находящейся в точке х, была v0 (х); векторное поле vn называется начальным полем скоростей среды. С течением времени частицы будут двигаться и поле скоростей будет меняться (хотя скорость каждой частицы и не меняется, в следующий момент времени эта частица находится на новом месте).

На рис. 47 изображено начальное поле скоростей одномерной среды v0 и получающиеся из него через время t - 1, 2 и 3 поля ylt y2, v3. Мы видим, что, начиная с некоторого момента, более быстрые частицы начинают обгонять более медленные; в результате поле скоростей становится трехзначным: че-

Рис. 47. Эволюция поля скоростей бесстолкнови-тельной среды

Рис. 48. Особенности плотности после обгона

рез одну точку пространства проходят с разными скоростями три потока частиц.

Движение нашей среды можно описать как однопараметрическое семейство отображений прямой на прямую, Именно для каждого I определено отображение gt, переводящее начальное положение частицы (х) в конечное: gt (х) = х + v0 (х) t.

Отображение g0 есть тождественное преобразование, оставляющее каждую точку на месте. Отображения, соответствующие моментам t, близким к 0, взаимно однозначны и не имеют особенностей. После момента первого обгона отображение gt имеет две складки.

Пусть в начальный момент плотность среды в точке х была р0 (х), С течением времени плотность будет меняться,