этой поверхности. Траектории этого движения определяются полем направлений, высекаемым на ней полем плоскостей, натянутых на вертикальное направление (направление оси быстрой переменной) и направление возмущений. Это поле плоскостей определяет, вообще говоря, контактную структуру в фазовом пространстве,; и особенности медленного движения описываются, вообще говоря, сложенными особыми точками рис. 55.

В качестве последнего примера тех же особенностей рассмотрим движение материальной точки в потенциальной яме (или у потенциального барьера) в присутствии трения. Обозначим (рис. 56) через х координату точки, а через Е

Рис. 56. Диссипация энергии в яме и у барьера

ее полную энергию. Проекции фазовой траектории на плоскость (х, Е) имеют при подходе к графику потенциальной энергии полукубические, вообще говоря, особенности. Минимуму (максимуму) потенциальной энергии отвечает особая точка. Для потенциальной энергии общего положения получаются все те же сложенные особенности Давыдова.

Причина, по которой сложенные особенности встречаются столь часто, состоит в том, что часто встречаются как обычные особенности векторного поля, так и складывания. Неожиданным здесь является лишь то, что комбинирование складывания с особенностью не приводит к большему разнообразию случаев, чем в классификации самих особенностей векторных полей. А именно, рассмотрим складывание как инволюцию (диффеоморфизм, квадрат которого - тождественное преобразование) на плоскости, несущей векторное поле с особой точкой. Если линия неподвижных точек инволюции проходит через особую точку поля и инволюция на этой линии меняет знак каждого вектора поля на противоположный, то такая инволюция (почти всегда) переводится в любую другую инволю-

цию с такими свойствами при помощи диффеоморфизма, двигающего вдоль себя каждую фазовую кривую заданного псля. Этот (довольно неожиданный) результат является источником всей описанной выше теории.

Четвертая особенность границы достижимости получается из двух сепаратрис сложенных седел, входящих с разных сторон в сложенный узел. Приведенная выше нормальная форма сложепного узла позволяет явно выписать нормальную форму четвертой особенности, но я здесь не буду этого делать.

Примеры управляемых систем и целей, приводящих к указанным особенностям границы достижимости, изображены на рис. 57, 58, 59. На этих рисунках цель у обозначена двойной линией, граница области достижимости- Т-образным пунктиром (ножка буквы Т обращена в сторону области достижимости). Линии со стрелками касаются краев конусов допустимых направлений в каждой точке; горизонтально заштрихована область полной управляемости (выпуклая оболочка индикатрисы окружает 0). Рассматривая рис. 57-59 читатель может проверить неустранимость особенностей 1-4.

Чтобы разобраться в этих рисунках, мы построим сеть предельных линий, определяемую следующим образом.

В каждой точке вне области полной управляемости направления допустимых скоростей расположены внутри угла, меньшего 180°.

Стороны этого угла определяют направления предельных скоростей в данной точке. Таким образом, в каждой точко вне области полной управляемости возникают два предельных направления. Интегральные кривые полей предель-

ных направлений (т. о. кривые, имеющие предельное направление а каждой своей точке) называются предельными линиями.

Сеть предельных линий изображена на рис. 54 вместе с индикатрисами допустимых скоростей (они имеют вид эллипсов) и с опирающимися иа индикатрисы углами, обра-

зованными допустимыми направлениями движения. Рис 57> Устойчивость осо-Граница области достижимости бенностей г? и 2 на границе состоит из отрезков предельных ли- области достижимости шш (и, быть может, отрезков линии цели, если цель не лежит

ii области полной управляемости, см. рис, 57). Эти отрезки соединяются между собой в точках, которые и составляют особенности границы области достижимости.

На рис. 57 цель имеет вия контура лежащей на спине буквы С. Допустимые скорости во всех точках плоскости одинаковы н направлены вверх иод углом, составляющим не более 45° с вертикалью.

Наклон всех предельных линий 4:45°. Граница достижимости обозначена Т-образным пунктиром. Видны особые точки границы двух типов: 1 и 2.

В точке 1 соединяются отрезки двух разных предельных линий. Они пересекаются под ненулевым углом. Ясно, что из точек, расположенных выше указанной на рис. 57 границы, при движении по направлению, образующему с вертикалью угол 45° или меньше, попасть на цель нельзя, а из точек, расположенных ниже,- можно. Интересно отметить, что вершина 1 зияет на границе области достижимости: область недостижимости вклинивается в этом месте в области достижимости. Таким образом, в смысле п. 7 хорошим оказывается именно недостижимое.

В точке 2 на границе достижимости соединяется отрезок предельной линии и отрезок линии-цели. В этой точке направление линии-цели предельное, так что граница достижимости имеет касательную. Кривизна границы, однако, меняется в точке 2 скачком при переходе с предельной линии на линию-цель.

Заменим теперь цель на рис. 57 любой близкой гладкой кривой (близость кривых предполагает близость их касательных, кривизн и т. д.) и заменим поле индикатрис допустимых скоростей на рис. 57 близким полем. Тогда ясно, что граница допустимости повой системы по-прежнему будет иметь вблизи точки 1 точку излома (где под ненулевым углом соединяются отрезки двух предельных линий). Точно так же вблизи каждой из точек 2 возникает точка аналогичного характера для новой системы.

Таким образом, ситуация, изображенная на рис. 57, устойчива относительно малых шевелений системы. Подобным свойством устойчивости обладают и ситуации, изображенные на рис. 58 и 59.

События, приводящие к указанным на этих рисунках особенностям сети предельных линий, состоят в следующем.

На рис. 58 кривая К ограничивает заштрихованную область полной управляемости: в заштрихованной области движение в любом направлении возможно (если допускать так называемые смешанные стратегии, т. е. движения быстро

/ . j сменяющимися галсами). Цель на

* / EfvO Рис- 58 лежит в области полной

управляемости. Следовательно, вся ограниченная кривой К область достижима.

На границе К области полной управляемости угол между допустимыми направлениями составляет ровно 180°. Граница К образована теми точками плоскости, для которых двойная касательная, делающая выпуклой индикатрису допустимых скоростей, проходит через начало координат цдослосто скоростей (двойная касательная - это прямая, касающаяся кривой в двух точках).

На рис. 58 эта двойная касательная в каждой точке кривой К горизонтальна. Событие, приводящее к образованию изображенной на рис. 58 особенности, состоит в том, что кривая К сама касается проходящей через нуль двойной касательной к индикатрисе.

Рис. 58. Устойчивость особенности 3 на границе области достижимости