Особенности выпуклых оболочек кривых и поверхностей общего положения в трехмерном пространстве исследованы В. Д. Седых и В. М. Закалюкиным. В случае кривых с точностью до гладкой замены переменных

Рис. 61. Типичные особенности выпуклых оболочек пространственных кривых

оболочка задается в окрестности каждой своей точки одной из шести формул:

z ;> 0, z ;> х , z-x\x\, z > min (и4, + хи2 -f- уи), z > min2 (х, у, 0), {г > min2 (х, у, 0), х + у > 0}

(рис. 61). В случае поверхностей - одной из трех формул z > 0, z я х , z > р2 (х, !/),

где р (х, у) - расстояние от точки (х, у) до угла у > с\х\ (рис. 62). Число с > 0 является модулем (инвариантом): оболочки, соответствующие разным с, не сводятся одна к другой гладким преобразованием.

Особенности выпуклых оболочек в пространстве большей размерности мало изучены. Согласно В. Д. Седых,

выпуклая оболочка общего /с-мерного многообразия в пространстве размерности выше к+2 имеет модули, являющиеся функциями к переменных.

Тень, отбрасываемая бесконечно-гладким или даже аналитическим выпуклым телом, может, как это ни кажется странным, иметь особенности. А именно, граница тени трехмерного выпуклого тела может иметь разрывы третьей производной, а тела размерности 4 и выше - даже второй (И. А. Еогаевский, 1990).

Много новых интересных особенностей возникает в

Рис. 62. Типичные особенности выпуклых оболочек поверхностей

оптимизационных задачах с ограничениями, например в задаче об обходе препятствия. Их исследование привело к новым результатам в одной из самых классических областей математики - геометрии гладких поверхностей в трехмерном пространстве.

12. ГЛАДКИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Гладкая кривая на плоскости может иметь касательную со сколь угодно большим числом точек касания (рис. 63), но это не в случае общего положения. Малым шевелением кривой можно добиться того, что никакая прямая не будет касаться ее более чем в двух точках.

В скольких точках может касаться прямой поверхность общего положения? Немного подумав или поэкспериментировав, читатель Рис. 63. Тройная каса-ыожет убедиться, что наибольшее тельная нетипичной кри-число точек касания равно четы- та

рем; сохраняя гри точки касания,

прямую можно двигать, две - двигать в двух направлениях.

Порядок касания прямой с кривой или поверхностью также может быть различным (например, порядок касания оси х с графиком у = х2 первый, х3 - второй и т. д.) Плоская кривая общего положения не имеет касательных выше второго порядка (второй порядок касания встречается в отдельных точках кривой, называемых точками перегиба).

Для поверхности в пространстве дело обстоит уже не так просто. В точках, близ которых поверхность не выпукла, имеются касательные выше первого порядка (они называются асимптотическими касательными). Для поверхности общего положения касательные третьего порядка имеются на некоторой линии, а четвертого - в отдельных точках; касательных выше четвертого порядка общая поверхность не имеет.

Все точки поверхности общего положения делятся по порядкам касательных на следующие 7 классов (рис. 64):

1) область эллиптических точек (все касательные порядка 1);

2) область гиперболических точек (две асимптотические касательные).

Эти две области разделяет общая граница: 3) линия параболических точек (одна асимптотическая касательная).

Внутри области гиперболичности выделяется особая линия:

4) кривая перегиба асимптотических линий (есть касательная третьего порядка).

Наконец, на этой кривой выделены еще особые точки трех типов:

5) точка двойного перегиба ка ательная четвертого порядка);

Рис. 64. Классификация 6) перегиб обеих асимптоти-точек на гладкой но- ческих линий (две касательные верхности третьего порядка);

7) общие точки линий 3) и 4).

Для поверхностей общего положения в точках 6) происходит пересечение двух ветвей линии перегибов под ненулевым углом, а в точках 7) - касание (первого порядка) линий 3) и 4).

Описанная классификация точек поверхности (О. А. Платонова, Е. Е. Ландис) следующим образом связана с классификацией особенностей волновых фронтов.

Математики называют точками объекты любой природы. Рассмотрим, например, множество всех невертикальных прямых на плоскости (х, у).

Такие прямые задаются уравнениями вида у - ах -f Ь. Следовательно, одна прямая определяется парой чисел (а, Ъ) и может рассматриваться как точка плоскости с координатами (я, Ъ). Эта плоскость называется двойственной к исходной плоскости. Ее точки - это прямые исходной плоскости.

Если на исходной плоскости дана гладкая кривая, то в каждой ее точке имеется касательная прямая. При движении точки вдоль кривой касательная меняется, следовательно, движется точка двойственной плоскости. Таким образом, на двойственной плоскости возникает кривая - множество всех касательных исходной кривой. Эта кривая называется двойственной к исходной.

Если исходная кривая гладкая и выпуклая, то двойственная кривая тоже гладкая, если же исходная кривая имеет точку перегиба, то иа двойственной кривой ей соответствует точка возврата (рис. 65),

Кривые, двойственные к гладким кривым общего положения, имеют такие же особенности, как волноьые