Рис. 69. Бифуркации проектирований: случай 13, г = хъ + ху 3 В. И. Арнольд I

При прохождении особенности 4 происходит слияние или разделение двух компонент видимого контура.

Особенности 5, 7, 8 и 9 реализуются лишь при изолированных направлениях проектирования, и их нужно специально искать. (8 и 9 - проектирование вдоль касательной четвертого порядка, 7 - вдоль параболической касательной третьего порядка, 5 - точка параллельности асимптотических в бесконечно близких параболических точках ). При проектированиях из отдельных точек реализуются еще 4 особенности 10-13: z = х3 ± яг/4, z = = я4 + хгу + хуг, z = хъ + ху (рис. 66-69).

13. ЗАДАЧА ОБ ОБХОДЕ ПРЕПЯТСТВИЯ

Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве препятствие, ограниченное гладкой поверхностью (рис.70). Ясно, что кратчайший путь из х в у в обход препятствия состоит из отрезков прямых и отрезков геодезических

(кратчайших линий) на поверхности препятствия. На геометрию кратчайших путей сильно влияют различные перегибы поверхности препятствия.

Предположим, что начальная

п п точка пути, х, зафиксирована, и Рис. 70. Кратчайший J \, г

путь в обход препятст- рассмотрим кратчайшие пути, ве-вия ДУЩие из х во всевозможные точ-i

киг/. Пути в загороженные препятствием точки начинаются с отрезков касающихся препятствия прямых. Продолжения этих путей образуют пучок (однопараметрическое семейство) геодезических на поверхности препятствия. Следующие участки путей представляют собой новые отрезки прямых, касательных к геодезическим; они могут заканчиваться в концевой точке у или снова касаться поверхности препятствия и т. д.

Рассмотрим простейший случай пути, состоящего иь начального и конечного отрезков прямой с отрезком геодезической между ними. Близкие геодезические пучка заполняют на поверхности препятствия некоторую область. В каждой точке этой области геодезическая пучкл имеет определенное направление. В точках общего положения это направление не асимптотическое. Условие касания геодезической пучка с асимптотическим направлением - это одно условие на точку поверхности. Для по-