Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ]

ЗАДАЧИ

К разделу 1 (здесь и далее переменная z - комплексная, х и у - вещественные)

1. Найдите критические точки и критические значения отображений z -+ z2, z н- гг + ez.

2. Найдите критические точки и критические значения отображений (х, у) (хг + ayt у2 + Ъх),

3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения х - -з? + х -f- а при изменении параметра а.

4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений z = ez - z2z + ЛР, где А - фиксированное комплексное число, а комплексное число е обходит вокруг нуля.

5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени х5 + * с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы, если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.

6. Обозначим через ап число типов многочленов xn+i -- . . , с п различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а4) и составим функцию р (t) = Lantnln\t Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что an выражаются через числа Бернулли при нечетных п и через числа Эйлера - при четных).

7. Рассмотрим в пространстве многочленов хь + . область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?

8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной и и независимых



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ]