Промышленный лизинг
Методички
Тем самым возникает иерархия вырождений по коразмерностям и стратегия их исследования: вначале следует изучать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, затем - два и т. д. При этом исследование вырожденных систем не должно ограничиваться изучением картины в момент вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение. -о-о о .I. I о- Рис. 13. Кривая равновесий однопараметрического семейства систем Рис. 14. Превращение нетипичных бифуркаций в типичные при малом шевелении семейства Изложенные выше общие соображения принадлежат А. Пуанкаре и применимы не только к исследованию положений равновесия эволюционных систем, но к большей части всего математического анализа. Хотя они были высказаны уже сто лет назад, успехи в реализации намеченной А. Пуанкаре программы теории бифуркаций остаются в большинстве областей анализа довольно скромными, отчасти в силу больших математических трудностей, отчасти же вследствие психологической инерции и засилья аксиоматико-алгебраического стиля. Вернемся, однако, к положениям равновесия эволюционных систем. К настоящему времени решенным можно считать лишь вопрос о перестройках фазовых кривых при бифуркациях положений равновесия в однопарамет-рических семействах общего положения; уже случай двух параметров выходит за рамки возможностей сегодняшней науки. Результаты исследования общего однопараметрического семейства суммированы на рис. 13-18. На рис. 13 изображено однопараметрическое семейство эволюционных процессов с одномерным фазовым пространством (по оси абсцисс отложено значение параметра е, по оси ординат - состояние процесса х). Для однопараметрического семейства общего положения равновесия при всевозможных значениях параметра образуют гладкую кривую (Г на рис. 13, в более общем случае размерность многообразия состояний равновесия равна числу параметров). В частности, это означает, что изображенные на рис. 14 слева бифуркации в семействе общего положения не встречаются: при малом изменении семейства Г превращается в гладкую кривую одного из изображенных на рис. 14 справа типов *). Проектирование кривой Г на ось значений параметра в случае однопараметрического семейства имеет лишь особенности типа складки (при большем числе параметров появляются и более сложные особенности теории Уитни: например, в общих двупараметрических семействах проектирование поверхности равновесий Г па плоскость значений параметров может иметь точки сборки, где сливаются три положения равновесия). Таким образом, при изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (критические значения проекции, а, Ь, с, d на рис. 13). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от параметров. При подходе параметра к бифуркационному значению положение равновесия умирает , слившись с другим (или же из воздуха рождается пара положений равновесия). Из двух рождающихся (или умирающих) вместе положений равновесия одно устойчиво, другое неустойчиво. В момент рождения (или смерти) оба положения равновесия движутся с бесконечной скоростью: когда значение параметра отличается от бифуркационного на s, оба близких положения равновесия удалены друг от друга на расстояние порядка / е. На рис. 15 изображена перестройка семейства фазовых кривых на плоскости в общем однопараметрическом семействе. Устойчивое положение равновесия ( узел ) сталкивается при изменении параметра с неустойчивым ( седлом ), после чего оба исчезают. В момент слияния *) Под типом здесь понимается класс эквивалентности с точностью до диффеоморфизма плоскости, а не с точностью расслоенного диффеоморфизма (расслоенный диффеоморфизм - это семейство диффеоморфизмов фазового пространства, зависящих от параметра, сопровождаемых диффеоморфной заменой параметра). на фазовой плоскости наблюдается картина необщего положения ( седло-узел ). На рис. 15 видно, что перестройка, в сущности, одномерная: вдоль оси абсцисс происходят те же явления, что на осп х на рис. 13, а вдоль оси ординат перестройки нет вовсе. Таким образом, перестройка через седло - узел /Ж 7? fV Рис. 15. Седло-узел: типичная локальная бифуркация в одно-параметрическом семействе получается из одномерной перестройки надстраиванием оси ординат. Оказывается, вообще все перестройки положений равновесия в общих однопараметрических системах получаются из одномерных перестроек аналогичным надстраиванием. Если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим в какой-либо реальной системе (скажем, экономической, экологической или химической), то при его слиянии с неустойчивым положением равновесия система должна совершить скачок, перескочив на совершенно другой режим: при изменении параметра равновесное состояние в рассматриваемой окрестности исчезает. Скачки этого рода и привели к термину теория катастроф . 6. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСНЫХ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ Потеря устойчивости состояния равновесия при изменении параметра не обязательно связана с бифуркацией самого состояния равновесия: оно может терять устойчивость не только сталкиваясь с другим, но и самостоятельно. Соответствующая перестройка фазового портрета на плоскости изображена на рис. 16. Возможны два варианта. А. При изменении параметра из положения равновесия рождается предельный цикл (радиуса порядка / е* 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 |