чина затягивания потери устойчивости, вообще говоря, стремится к нулю при уменьшении скорости изменения параметра.

Затягивание в модельном примере описано Шишковой в 1973 г. Доказательство того, что это явление имеет место во всех типичных аналитических системах с медленно

КОашстаи, ион ар нов приближение

Динамическая бифуркация

Рис. 26. Затягивание потери устойчивости при динамической бифуркации

меняющимся параметром, было получено в 1985 г. А. И. Нейштадтом.

Известно, что улов горбуши колеблется с периодом в два года. Исследование экологических моделей, призванных объяснить эти колебания, привело А. П. Шапиро (1974) и затем Р. Мея к экспериментальному открытию каскадов удвоений периода: последовательные бифуркации удвоения быстро следуют одна за другой, так что на конечный отрезок изменения параметра приходится бесконечное число удвоений. Это явление наблюдается, например, для простейшей модели мальтузианского размножения с конкуренцией - для отображения х >- Ахегх (рис. 27). Здесь множитель в~х, уменьшающий коэффициент мальтузианского размножения А при увеличении размера популя-

дни х, учитывает конкуренцию. При малых значениях параметра А устойчива неподвижная точка х - О (популяция вымирает). При больших значениях А аттрактором последовательно становятся ненулевая неподвижная точка (бифуркация А0), цикл периода 2, рис. 27, как для горбуши (бифуркация удвоения, А±), периода 4 (Аг) а т. д. (рис. 28).

Анализируя этот экспериментальный материал, М. Фейгенбаум (1978) обнаружил замечательное явление

мальтузианской модели с уч.. том конкуренции

универсальности каскадов удвоений. Последовательность значений параметра, соответствующих последовательным удвоениям, асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия. Знаменатель прогрессии А - А 1

п+1 П -.-

llm A -А--4.669. . .

П-*чо п П-1

является универсальной (не зависящей от конкретной системы) постоянной, вроде чисел я или е. Такие же каскады удвоений предельных циклов наблюдаются и в типичных эволюционных системах, описываемых зависящими от параметра дифференциальными уравнениями.

В отличие от удвоения периода, утроение является явлением коразмерности два. Каскады утроений (и других увеличений периода) становятся типичными не в однопа-раметрических, а в двупараметрических семействах систем. В этих случаях универсальные показатели оказываются комплексными.

В теории двупараметрических бифуркаций за последние годы достигнуты значительные успехи. В частности,.

Рис. 27. Колебания . . поста популяции в простейш т

Рис. 28. Каскад удвоений периода

Г. Жолондеком к 1987 г. решены давно стоявшие задачи о числе предельных циклов, рождающихся из нулевого положения равновесия в системах типа Лотка - Вольтерра (рис. 10), описываемых касающимися сторон угла векторными полями на плоскости.

Однако задача о бифуркациях в системе

z = sz + Az4 + z3,

к которой сводится исследование потери устойчивости автоколебаний в единственном оставшемся не исследованным случае коразмерности 2, все еще не поддается усилиям математиков. На плоскости комплексного параметра ... А выделено 48 областей

(рис. 29), в которых бифуркации при обходе малого комплексного параметра е вокруг нуля происходят по-разному. (Не доказано даже, что полное число таких областей конечно, хотя предполагается, что их всего 48.)

Еще недавно всякий экспериментатор, обнаружив, скажем, в химической реакции сложные апериодические

п колебания, отказывался от

Рис. 29. Сорок восемь типов

бифуркаций коразмерности их исследования, ссылаясь 2 при резонансе 1:4 на нечистоту эксперимента,

случайные внешние воздействия и т. п. Сейчас уже многим ясно, что эти сложные колебания могут быть связаны с самим существом дела, могут определяться основными уравнениями задачи, а не случайными внешними воздействиями; они могут и должны изучаться наравне с классическими стационарными и периодическими режимами протекания процессов,

7. ОСОБЕННОСТИ ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ И ПРИНЦИП ХРУПКОСТИ ХОРОШЕГО

Рассмотрим положение равновесия системы, зависящей от нескольких параметров, и предположим, что (в некоторой области изменения параметров) это положение равновесия не бифурцирует.

Будем изображать систему, соответствующую какому-либо значению параметров! точкой на оси значений пара-